Formula di Erone: cos’è e come si calcola

L’apprendimento della formula di Erone può essere cruciale quando si affrontano sfide geometriche complesse, in particolare nel contesto dello studio dei triangoli. Questa formula rende possibile il calcolo dell’area di un triangolo utilizzando unicamente le lunghezze dei suoi lati, eliminando la necessità di misurare le altezze.

Erone di Alessandria, un matematico greco del primo secolo d.C., è riconosciuto per aver formulato questa definizione. Egli approfondì gli studi di grandi predecessori come Archimede e Pitagora, dai quali trasse ispirazione per i suoi contributi scientifici. Erone ebbe interessi multidisciplinari, dedicandosi anche alla fisica e conducendo esperimenti nel campo dell’ottica.

Scopriamo insieme la formula di Erone e come si calcola.

Il calcolo della formula di Erone

La formula afferma che l’area di un triangolo può essere calcolata come la radice quadrata del prodotto tra il semiperimetro del triangolo e la differenza del semiperimetro con ciascuno dei suoi lati. Se consideriamo un triangolo con lati di misura a, b, e c, e definiamo il semiperimetro p come (a+b+c)/2, l’area si determina tramite la formula √p(p−a)(p−b)(p−c)​.

Per illustrare l’uso di questa formula, prendiamo in esempio un triangolo scaleno con lati di 23 cm, 15 cm e 12 cm. Calcolando il semiperimetro, sommiamo i lati e dividiamo per due, ottenendo (23+15+12)/2=25(23+15+12)/2=25. Da qui, si procede sostituendo i valori nella formula di Erone.

Nominiamo a il lato più lungo, b quello di lunghezza intermedia, e c il più corto. Prima di applicare la formula, è utile calcolare le differenze: (p–a)=(26−23)=3, (p–b)=(26–15)=11, e (p–c)=(26–12)=14. L’area si calcola come√ 26⋅(3)⋅(11)⋅(14)=√7.392=86cm².

Questa tecnica offre una valida alternativa alla formula classica base per altezza diviso due, particolarmente quando l’altezza del triangolo non è facilmente determinabile, rendendo la formula di Erone particolarmente preziosa in tali situazioni.

I triangoli Eroniani

Analogamente a come le terne pitagoriche si riferiscono al teorema di Pitagora, esistono configurazioni specifiche per la formula di Erone, definite come triangoli eroniani. Questi sono triangoli i cui calcoli, basati sul semiperimetro e le differenze con i lati, risultano in un quadrato perfetto, facendo sì che l’area derivata sia un numero intero esatto, senza frazioni o decimali.

Prendiamo ad esempio un triangolo eroniano con lati che misurano rispettivamente 13 cm, 14 cm e 15 cm. Il semiperimetro p di tale triangolo è calcolato come (13+14+15)/2= 21cm. Le differenze tra il semiperimetro e i lati del triangolo sono rispettivamente 8, 7 e 6 cm. Inserendo questi valori nella formula di Erone, otteniamo  √221⋅8⋅7⋅6​= √7.056​=84cm².

Allo stesso modo, un altro esempio di triangolo eroniano scaleno può avere lati di 17 cm, 25 cm e 26 cm, dimostrando la versatilità e l’applicabilità di questa formula a diverse configurazioni di triangoli.

Esistono anche triangoli eroniani isosceli. Per esempio, un triangolo con una base di 6 cm e due lati di 5 cm ciascuno produce, sotto radice, 144, che è il quadrato perfetto di 12. Il semiperimetro di questo triangolo è 8 cm, quindi l’applicazione della formula di Erone risulta in  √8(8–5)(8–5)(8–6)= √144=12 cm².

Anche le note terne pitagoriche, come il triangolo (3, 4, 5), confermano questa relazione con la formula di Erone. Il semiperimetro di tale triangolo è 6 cm, quindi il calcolo 6×(6–3)(6–4)(6–5)=36 dimostra come il risultato sia un quadrato perfetto. Questi esempi evidenziano la stretta correlazione tra le terne pitagoriche e i triangoli eroniani, sottolineando la profondità e l’utilità della formula di Erone nella geometria.

Formula Erone: dimostrazione

Consideriamo un triangolo scaleno con lati a, b, c e l’altezza ℎ relativa alla base a. Disegnando l’altezza ℎ, dividiamo la base in due segmenti, y e a−y, formando così due triangoli rettangoli. Applicando il teorema di Pitagora a ciascuno di questi triangoli, possiamo calcolare l’altezza ℎ in due modi diversi:

ℎ=  √b²-y² e h= √c²-(a-y)²

Per trovare y, sfruttiamo la relazione derivata dal prodotto notevole, risultando in y=b²+a²−c²​/2a. Sostituendo y nelle espressioni per ℎ, otteniamo ℎ=√b²−(b²+a²−c²​/2a)²​.

Proseguiamo integrando questa espressione di ℎ nella formula classica dell’area di un triangolo, ossia A=1/2×base×altezza, otteniamo: A=b×√b2−(b²+a²−c²​/2a)²/2.

Se portiamo b all’interno della radice, la formula si trasforma in: A=√a²b²/4​×(b²+a²−c²​/2a)²

Semplificando ulteriormente, la formula diventa: A=√(a+b+c)/2​×(a+b+c−2c)​/2×(a+b+c−2b)​/2×(a+b+c−2a)​​/2.

Infine, riscrivendo la somma a+b+c come il semiperimetro p, otteniamo la formula già nota di Erone: A=p(p−a)(p−b)(p−c)​.

Questa deduzione mostra come la formula di Erone sia collegata non solo alla geometria dei triangoli in generale, ma anche alle proprietà fondamentali dei triangoli rettangoli tramite il teorema di Pitagora, dimostrando una sintesi elegante tra concetti geometrici distinti.

La formula di Erone: un pilastro della matematica

William Dunham ha riconosciuto la formula di Erone come uno dei principali pilastri che hanno plasmato la storia della matematica, inserendola nella sua celebre lista dei dodici teoremi più influenti. Questa lista è stata dettagliatamente presentata nel suo libro “Viaggio attraverso il genio“, dove Dunham esplora i teoremi in un rigoroso ordine cronologico.

Il percorso inizia con “la quadratura della lunula” di Ippocrate di Chio, seguito da alcune delle più fondamentali scoperte matematiche. Tra queste, troviamo il teorema di Pitagora, che stabilisce una relazione eterna tra i lati di un triangolo rettangolo; segue il concetto dell’infinità dei numeri primi, che apre orizzonti infiniti nella teoria dei numeri; e il metodo per il calcolo dell’area del cerchio, una pietra miliare per la geometria e il calcolo.

Il quinto teorema, descritto da Dunham, è appunto la formula di Erone, che sottolinea l’ingegnosità della matematica greca nel calcolo dell’area di un triangolo basandosi esclusivamente sulle misure dei suoi lati. Questo teorema è seguito dalla soluzione dell’equazione cubica, che fu un significativo sviluppo nella storia dell’algebra attribuito a Cardano. La lista prosegue con la metodologia di Newton per il calcolo del valore di π, una formula che ha rivoluzionato il calcolo delle aree e i limiti.

Concludendo la lista, Dunham affronta il problema di Basilea, risolto da Eulero, la confutazione della congettura di Fermat, l’innumerabilità del continuo e il teorema di Cantor, ciascuno rappresentando svolte epocali che hanno continuamente ridefinito i confini della matematica. Ogni teorema nella lista non solo esemplifica la progressione del pensiero matematico attraverso i secoli ma dimostra anche come ogni scoperta sia collegata in un reticolo di conoscenza che attraversa la storia umana.

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