Cos’è e cosa dice il teorema di Bernoulli

Una delle leggi più importanti della meccanica dei fluidi è il teorema di Bernoulli (noto anche come equazione di Bernoulli o principio di Bernoulli).

Daniel Bernoulli era figlio di un noto matematico del XVIII secolo, ma era molto più intuitivo e abile del padre. Pare addirittura che quest’ultimo abbia cercato di spacciare per suo uno dei libri scritti dal figlio.

Oltre che per il suo lavoro sulla fluidodinamica, Daniel Bernoulli è noto anche per i suoi contributi alla statistica. Cercò di utilizzare questo approccio elaborando i dati sulla mortalità per dimostrare l’efficacia dei vaccini contro il vaiolo.

Daniel Bernoulli ha di fatto fornito importanti contributi all’applicazione della matematica, in particolare al campo della meccanica, cioè la fisica che descrive il moto dei corpi materiali, e dell’idrodinamica, cioè lo studio dei fluidi in movimento.

Fu uno dei primi scienziati a formulare la teoria cinetica dei gas e ad applicare la legge di Boyle. Collaborò con Eulero sull’elasticità e insieme formularono un’equazione chiamata equazione di Eulero-Bernoulli.

In questo articolo imparerete i principi fisici alla base del teorema di Bernoulli e capirete come sia strettamente legato all’equazione di continuità che collega la velocità e l’area della sezione trasversale di un fluido.

Un fluido che passa da uno stato all’altro conserva massa, energia e quantità di moto. Da uno di questi principi si può ricavare il teorema di Bernoulli, che è alla base di tutti i ragionamenti della meccanica dei fluidi.

Teorema di Bernoulli: la spiegazione

Per cominciare, forniamo un’introduzione adeguata a questa legge, che è probabilmente la più importante nel campo della meccanica dei fluidi.

In meccanica dei fluidi, l’equazione di Bernoulli rappresenta un modello semplificato del flusso inviscido di un fluido incomprimibile in moto stazionario.

Di fatto, il teorema di Bernoulli è una relazione che collega diversi elementi, ovvero:

• velocità del fluido;
• pressione;
• densità del fluido.

Il teorema di Bernoulli deriva dalla legge di conservazione della quantità di moto. Questo principio afferma che la quantità totale di pressione di un fluido, data dalla pressione, dalla velocità e dalla quantità potenziale (dovuta alla sua posizione in quota), si conserva.

La legge di Bernoulli si applica a tutti i fluidi ideali, cioè ai fluidi incomprimibili e inviscidi (a differenza dei gas). La fluidità si riferisce all’attrito interno tra le particelle del fluido, che è una caratteristica solo dei fluidi reali. I fluidi ideali non la possiedono affatto.

Immaginiamo ora di avere un condotto attraverso il quale scorre un fluido che non è costante in altezza e sezione trasversale, ma varia. Consideriamo due punti del condotto con sezioni trasversali e altezze variabili, S1 e S2 per il primo e h1 e h2 per il secondo.

Per formulare il teorema di Bernoulli, dobbiamo anche definire le due pressioni P1 e P2 e le velocità v1 e v2 attraverso cui scorre il fluido.

Infine, se indichiamo la densità del fluido con la lettera greca ρ, possiamo esaminare la formula espressa sotto forma di equazione.

Avremo P1 + 1/2ρv12 + ρgh1 = P2 + 1/2 ρv22+ ρgh2.

La somma dei termini P + 1/2ρv + ρgh può anche dirsi costante per ogni punto del condotto, poiché il risultato non cambia se si considerano due punti diversi.

Il terzo termine g è l’accelerazione di gravità, pari a 9,81 m/s².

Le due altezze h1 e h2 sono misurate in metri, la pressione è espressa in pascal (Pa) e la densità ρ varia tra g/cm³ o kg/m³.

In pratica, il teorema di Bernoulli afferma che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido si conserva.

Teorema di Bernoulli: possibili applicazioni fisiche

Dopo aver visto le formule, vediamo ora come il teorema di Bernoulli può essere utilizzato in pratica.

Oltre a studiare situazioni quotidiane e fenomeni naturali, può essere applicato anche alla costruzione di dispositivi tecnici.

Un esempio è un nebulizzatore attaccato a una vecchia bottiglia di profumo per spruzzare il profumo.

Quando si preme il palloncino in cima, l’aria fluisce in un tubo stretto rispetto al volume della bottiglia.

La differenza di pressione spinge il liquido verso l’alto e a contatto con il getto d’aria, formando le gocce di profumo spruzzate. Lo stesso principio si applica alle bombolette spray di deodorante utilizzate oggi.

Ma non si tratta solo di oggetti, il teorema di Bernoulli può essere confermato anche nel sistema circolatorio. Quando il colesterolo si accumula nelle arterie, la sezione trasversale dei vasi sanguigni si riduce e la pressione interna diminuisce. Per questo motivo la circolazione diventa più difficile. Tuttavia, in questo caso il valore di g può essere ignorato.

Applicando questo teorema al flusso d’aria, si può spiegare anche il volo di un aereo.

La forma dell’ala è progettata in modo che l’aria che passa attraverso la parte superiore sia più veloce di quella che passa attraverso la parte inferiore. Questo è vantaggioso per il decollo.

Teorema di Bernoulli: esercizio

Vediamo un’applicazione pratica dell’equazione vista nel primo paragrafo. Supponiamo che la sezione trasversale di una linea orizzontale di tubi si restringa in un certo punto. Il primo tubo S1 è più largo e ha un raggio di 1 m, mentre il secondo tubo S2 è di 60 cm. La velocità e la pressione cambiano nelle due sezioni di tubo con larghezza diversa.

Vengono forniti i dati relativi alla velocità nel punto più largo (5 m/s) e alle due pressioni P1 e P2, rispettivamente 1,2 x 105 e 0,3 x 105. La densità dell’acqua pura di riferimento è di 1000 kg/m³. Poiché i tubi sono posizionati orizzontalmente, non c’è variazione di altitudine e quindi h1 = h2. Questo parametro può essere eliminato dall’equazione del teorema di Bernoulli.

Utilizzeremo quindi l’equazione P1 + 1/2 ρv12 + ρg = P2 + 1/2 ρv22+ ρg. Semplifichiamo ulteriormente eliminando ρg dall’equazione. Ora P1 + 1/2ρv12 = P2 + 1/2ρv22, il che spiega v22, che dovrebbe essere 2/ρ(P1-P2) + v12. Si sostituiscono i dati con 2/1000[(1,2-0,3)×105]+52. Si ottiene 205, ma per trovare il valore di v2 occorre trovare la radice quadrata. Ciò significa che √205 = 14,31 m/s.

Poiché il teorema di Bernoulli afferma che la somma dei termini può essere aumentata o diminuita mantenendo il valore costante, possiamo immaginare un caso realistico in cui la pressione di un fluido non cambia e le uniche cose che cambiano sono l’altitudine e la velocità.

Apriamo semplicemente un rubinetto e osserviamo come scorre l’acqua. Non c’è alcuna variazione di pressione tra lo stato iniziale dell’acqua appena fuori dal filtro e lo stato finale dell’acqua appena prima di cadere nel lavandino.

In effetti, la pressione è la stessa di quella atmosferica in entrambi i casi. Ciò che cambia tra lo stato 1 e lo stato 2 è che, appena fuori dal filtro, l’acqua ha un potenziale più elevato rispetto allo stato 2. Di conseguenza, la velocità del fluido è più elevata.

Di conseguenza, la velocità del fluido aumenta nello stato finale per compensare la minore quota. Infatti, l’acqua è minore nella sezione finale, per via del conseguente aumento della velocità a parità di portata.

Teorema di Bernoulli: il paradosso idrodinamico

Il caso considerato nella sezione precedente introduce un argomento legato al teorema di Bernoulli, noto come paradosso idrodinamico.

Questo è più comunemente chiamato effetto Venturi e si riferisce a tutti i fluidi che scorrono lungo un tubo orizzontale la cui sezione trasversale ha un punto di allargamento e un punto di restringimento.

Come in precedenza, il parametro h è stato rimosso dall’equazione.

Tuttavia, si noti che esiste una relazione inversamente proporzionale tra il raggio della sezione trasversale e la velocità del fluido nel tubo. Quando il tubo si restringe, la velocità del fluido aumenta, mentre quando il tubo si allarga e il raggio aumenta, il flusso del fluido rallenta. Nel caso della pressione, invece, essa aumenta dove il tubo si allarga e diminuisce dove si restringe.

Questo fenomeno fu descritto dal fisico italiano Giovanni Battista Venturi, che per dimostrarlo costruì uno speciale dispositivo chiamato tubo di Venturi.

Si tratta di un condotto orizzontale con una restrizione centrale. Due manometri sono collegati sia alla sezione larga sia alla strozzatura.