Cos’è il teorema di Torricelli-Barrow

Studiando i teoremi fondamentali della matematica, ci si imbatte immancabilmente nel teorema di Torricelli Barrow, che è il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Questo teorema non è complicato, ma richiede una serie di passaggi coordinati, utilizzando altri teoremi e applicando le proprietà delle funzioni e degli integrali.

Analizziamo quindi questo teorema, la sua importanza con brevi riferimenti storici.

Teorema di Torricelli-Barrow: cosa dice?

Per lo studio e il calcolo degli integrali è fondamentale conoscere il teorema di Torricelli Barrow. Questa legge è chiamata anche “Teorema fondamentale della scienza integrale” ed è divisa in diverse parti, che possono essere considerate separatamente.

Il motivo per cui questa regola matematica è così importante è che stabilisce la relazione precisa tra l’integrale e la derivata di una funzione a variabili reali. Il teorema si applica in particolare agli integrali definiti, cioè all’area di un intervallo sul grafico di una funzione.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che se una funzione f(x) per una variabile reale è continua in un intervallo I, allora una qualsiasi delle sue funzioni primitive è continua.

Questo teorema è molto importante perché stabilisce una chiara relazione tra la continuità di una funzione e la continuità del calcolo dell’area sottratta tra quella funzione e l’asse delle ascisse.

La dimostrazione di questo teorema sfrutta la relazione che esiste tra la derivabilità di una funzione e la sua continuità. Secondo questo teorema, se una funzione è derivabile in un punto, è anche continua in quel punto.

Ma chi erano Torricelli e Barrow?

Isaac Barrow, insegnante al Trinity College di Cambridge, ebbe come studente Isaac Newton al quale cedette la cattedra quando si rese conto che l’allievo aveva superato il maestro. Fu tra i primi a dimostrare il teorema fondamentale al quale ha poi dato il nome.

Evangelista Torricelli, noto soprattutto come ideatore del barometro, fu allievo di Cavalieri e si occupò estesamente di geometria e in particolare del calcolo di aree e volumi. Nel 1918, fu pubblicato un suo lavoro dal quale si evince che anche Torricelli era arrivato ad enunciare questo teorema.

Oltre agli studi di calcolo integrale, la ricerca sul moto, portò Torricelli a risultati matematici notevoli. Intuì ad esempio il concetto di differenziazione, riconoscendo implicitamente le proprietà inverse delle operazioni di integrale e derivazione, e il teorema esplicitamente affermato da Barrow.

Per questo motivo in Italia è noto come teorema di Torricelli-Barrow.

Torricelli è altresì famoso per la scoperta del solido di rotazione infinitamente lungo detto tromba di Gabriele, da lui chiamato “solido iperbolico acutissimo”.

La prima parte del teorema è chiamata Primo teorema fondamentale del calcolo, che garantisce l’esistenza di una primitiva per le funzioni continue, cioè che qualsiasi funzione continua è una derivata di qualsiasi altra funzione. La seconda parte del teorema è chiamata Secondo teorema fondamentale del calcolo e permette di calcolare l’integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

Una prima versione di questo teorema si deve a James Gregory, poi Isaac Barrow ne fornì una versione più generale. Gli allievi di Barrow, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, completarono in seguito lo sviluppo di tale teoria matematica.

Teorema di Torricelli-Barrow: prima parte

Supponiamo che esista una funzione f e un intervallo [a, b], dove a, b sono valori appartenenti a R e integrabili su tale intervallo. Allora la funzione integrale F (x,y) è continua su tale intervallo. Inoltre, se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b], allora F è derivabile in tutti i punti di f che sono continui.

Usando x per indicare un qualsiasi punto della funzione, possiamo dire che F’(x) = f(x). Ricordiamo che una funzione si dice continua in un punto se gli estremi sinistro e destro dell’intervallo coincidono con la valutazione della funzione in quel punto. Per dimostrare la prima parte del Teorema di Torricelli Barrow, si scelga un punto x all’interno di [a,b] e un numero h>0 tale che x+h appartenga all’intervallo.

Pertanto, l’integrale Sax f(t)dt +Sxx + hf(t)dt, e per la natura dell’integrale Sax + h f(t)dt. Per definizione, F(x) = integrale Sax f(t)dt e F(x + h) = Sxx + hf(t)dt. La differenza è Sxx + h f(t)dt e il teorema della media integrale viene utilizzato per trovare c tale che F(x + h) – F(x)/h = f(c).

Poiché x < c < x + h e la funzione è continua il limite in c per h=>0 è uguale a x, anche i limiti di x e x + h sono uguali. Pertanto, F’(x) = f(x).

Teorema di Torricelli-Barrow: seconda parte

Consideriamo sempre una funzione f continua sull’intervallo [a,b] e ammettiamo una primitiva G(x) su tale intervallo. A queste condizioni, vale la formula Sabf(t)dt = G(b) – G(a); G(x) diventa G’(x) = f(x). Precisiamo innanzitutto che F(a) = Saa f(t)dt e F(b) = Sbbf(t)dt.

Per la proprietà di integrazione, dobbiamo dimostrare che Sabf(t)dt = F(b) – F(a) e che F(b) – F(a) = G(b) – G(a) per tutte le primitive G(x). Ogni G’(x) = f(x) è F’(x) = G’(x) per il primo teorema del calcolo integrale e inoltre F’(x) – G’(x) = 0. Possiamo anche scrivere [F(x) – G(x)]’ = 0, quindi questa relazione è costante. c è detta costante e scriviamo F(x) – G(x) = c per tutti i punti dell’intervallo [a,b].

Di conseguenza, F(b) – F(a) può essere scritto anche come [G(b) + c] – [G(a) + c ], semplificando il termine c. Rimane G(b) – G(a), che è quello che volevamo dimostrare.

Teorema di Torricelli Barrow: grafici di funzioni

Conoscendo il grafico della funzione f(x), possiamo trarre conclusioni sul grafico della sua primitiva F(x). Innanzitutto, gli zeri di f(x), cioè i punti in cui la funzione è uguale a zero, sono allo stesso tempo punti sulla retta tangente orizzontale di F(x). Pertanto, in questi punti, le derivate prime primitive si annullano.

La seconda conclusione che deriva dal teorema fondamentale del calcolo integrale è che se f(x) è una funzione dispari, allora il grafico della sua primitiva F(x) è pari. In altre parole, per ogni funzione derivabile che presenta una simmetria rispetto all’origine degli assi ortogonali, esiste una funzione primitiva che è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.

Secondo il teorema di Torricelli Barrow, se la funzione f(x) è negativa, la sua primitiva F(x) è crescente. Al contrario, nella parte del grafico in cui f(x) è positiva, la sua primitiva F(x) è decrescente. Nell’intervallo [a,b], F(x) è dispari se a = 0 e f(x) = F’(x) è simmetrica rispetto all’asse y.

Applicazioni del teorema fondamentale del calcolo integrale

Vediamo un caso pratico in cui il teorema di Torricell-Barrow può essere applicato, utilizzando come esempio l’integrale definito come S26x2dx. Considerando la seconda parte del teorema precedente, questo integrale è uguale a G(6) – G(2). Pertanto, possiamo scrivere S26x2dx = G(6) – G(2).

Poiché Sxndx è un integrale fondamentale, sappiamo che è uguale a xn+1/n+1 + c. A questo punto, possiamo considerare la primitiva G(x), dove c = 0 e dunque solo x3/3. Di conseguenza, possiamo scrivere G(6) – G(2) = 63/3 – 23/3 = 216/3 – 8/3 = 208/3.

Come controfattuale, possiamo scegliere un valore qualsiasi per c, ad esempio 2.

Pertanto, G(x) = x3/3 + 2 e G(6) – G(2) = (63/3 + 2) – (23/3 + 2) = (216 + 6)/2 – (8 + 6)/3 = 222-14/3 = 208/3.

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