Prodotti notevoli: cosa sono, formule, applicazione

Sapevate che il calcolo dei prodotti notevoli rende la vita più facile? Per quale motivo?

Innanzitutto, spieghiamo un concetto fondamentale sui prodotti notevoli: si tratta di formule di calcolo per i polinomi. I prodotti notevoli consentono di calcolare rapidamente le potenze tra polinomi.

Perché si chiamano prodotti notevoli? Perché si riferiscono a prodotti che si ripetono spesso nei calcoli dei polinomi.

Ebbene, le formule dei prodotti notevoli sono utili per eseguire correttamente i calcoli nei compiti in classe, nelle domande d’esame di medicina, veterinaria e professioni sanitarie, negli esercizi e nei problemi proposti dai quiz.

Di fatto, possiamo considerare i prodotti notevoli come delle operazioni algebriche che velocizzano alcuni calcoli, come la moltiplicazione e le potenze di polinomi.

I prodotti notevoli sono il risultato di osservazioni e ricerche che si sono sviluppate nel corso dei secoli. Infatti, gli studiosi di algebra si sono concentrati su alcuni schemi che compaiono regolarmente quando alcuni monomi e polinomi vengono moltiplicati tra loro. Il riconoscimento di questi schemi ha permesso di formulare regole generali per questi particolari prodotti e di ottenere rapidamente dei risultati senza dover eseguire ogni singolo passaggio della moltiplicazione.

In questo articolo capiremo meglio le caratteristiche di questi schemi, ovvero dei  prodotti notevoli, che  possono essere decisamente utili quando si tratta di risolvere problemi o complesse espressioni matematiche. Infatti, conoscere e familiarizzare con i prodotti notevoli risulta essere estremamente vantaggioso per la scomposizione in fattori dei polinomi o per risolvere altre espressioni algebriche.

I prodotti notevoli: cosa sono?

A cosa servono i prodotti notevoli? Come accennato, i prodotti notevoli sono formule algebriche speciali che aiutano a semplificare più velocemente calcoli complessi. Supponiamo di fare matematica e di imbatterci in un calcolo difficile. I prodotti notevoli facilitano la gestione di queste espressioni complicate.

In buona sostanza, si tratta di una serie di “escamotage” che consentono di risolvere gli esercizi saltando numerosi passaggi. Ad esempio, le moltiplicazioni tra polinomi possono essere difficili e richiedere sessioni molto lunghe di ragionamento. Utilizzando un semplice prodotto notevole, molti passaggi possono essere omessi e la soluzione può essere ricavata più facilmente.

Il primo dei prodotti notevoli

I prodotti notevoli si configurano come formule fondamentali per evitare di sbagliare la moltiplicazione tra polinomi, che spesso risulta un procedimento farraginoso in cui è ovviamente facile commettere errori.

Quindi, i prodotti notevoli sono dei particolari prodotti polinomiali, che essenzialmente seguono delle regole di risoluzione più semplici.

Per ricavare queste regole è sufficiente moltiplicare tra loro i polinomi.

Partiamo col più semplice e il più comune dei prodotti notevoli, ovvero il quadrato di un binomio (somma e differenza).

Prendendo una somma come a + b, al quadrato si ha (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

I prodotti notevoli: le formule

Prendere confidenza con i prodotti notevoli assicura quindi di evitare errori algebrici. Queste formule permettono, da un lato, di scomporre un numero molto elevato di polinomi e, dall’altro, di velocizzare notevolmente i calcoli. Vediamo un formulario dei prodotti notevoli e alcuni esercizi.

Qui di seguito trovate la tabella sui principali prodotti notevoli.

Prodotto notevole	Formule
Somma per differenza	(a + b) · (a – b) = a2 – b2
Quadrato di un binomio con somma	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrato di un binomio con differenza	(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Cubo di un binomio con somma	(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo di un binomio con differenza	(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Quadrato di un trinomio con somma	(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Quadrato di un trinomio con differenza	(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc
Somma di due cubi	a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab +b2)
Differenza di due cubi	a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab +b2)
Cubo di un trinomio	(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c +3bc2 + 6abc

I prodotti notevoli: esempi di scomposizione

Uno sguardo ravvicinato sulla scomposizione dei prodotti notevoli e sull’applicazione pratica delle formule con l’ausilio di esempi.

Somma per differenza

La somma per la differenza tra due binomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Esempio somma per differenza.

(4×3 + y2) · (4×3 – y2) = 16×6 – y4

Quadrato di un binomio con somma o differenza

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più o meno il doppio prodotto del primo per il secondo termine, più il quadrato del secondo termine.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Esempio quadrato di un binomio.

(x2 – 3y)2 = x4 – 6x2y +9y2

Cubo di un binomio con somma o differenza

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più o meno il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, più o meno il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo termine, più o meno il cubo del secondo termine.

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b ± 3ab2 ± b3

Esempio cubo di un binomio.

(x2 – 2b)3 = x6 – 6x4b + 12x2b2 -8b3

Quadrato di un trinomio con somma o differenza

Il quadrato di un trinomio con somma o differenza è uguale alla somma dei quadrati dei termini, più o meno il doppio prodotto del primo per il secondo e il terzo, più o meno il doppio prodotto del secondo per il terzo.

(a ± b ± c)2 = a2 + b2 + c2 ± 2ab ± 2ac ± 2bc

Esempio quadrato di un trinomio.

(x2 + 2y – z3)2 = x4 + 4y2 + z6 + 4x2y -2x2z3 – 4yz3

Somma o differenza di due cubi

Tra i prodotti notevoli particolari, abbiamo la somma o la differenza fra due cubi. Per scomporre questo prodotto notevole occorre scrivere le basi dei due termini, vale a dire:

• la somma fra due cubi è data dalla somma delle due basi per il trinomio del quadrato della prima base, meno il prodotto della prima per la seconda base, più il quadrato della seconda base;
• la differenza fra due cubi è data dalla differenza tra le due basi per il trinomio del quadrato della prima base, più il prodotto della prima per la seconda base, più il quadrato della seconda base.
• In pratica, la somma o la differenza fra due cubi è data dalla somma o differenza fra le basi per il falso quadrato del binomio formato dalla somma o differenza fra le basi.

a3 ± b3 = (a ± b) · (a2 ±ab + b2)

Esempio somma di due cubi.

27×3 + 8 = (3x + 2) · (9×2 – 6x + 4)

Esempio differenza di due cubi.

27×3 – 8 = (3x – 2) · (9×2 + 6x + 4)

Cubo di un trinomio

Infine, la scomposizione di un cubo di un trinomio. Per applicare questo prodotto notevole, bisogna ricordarsi che la scomposizione comprende dieci termini.

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c +3bc2 + 6abc

Esempio cubo di un trinomio.

(x + y2 + 2) = x3 + y6 + 8 + 3x2y2 + 3xy4 + 6×2 + 12x + 6y4 + 12y2 + 12xy2